Neste pequeno how to irei exemplificar como utilizar de forma extremamente simples a biblioteca MomentJs no React Native e utilizando o locale BRL para traduzir as datas para Portugues/Brasil

Para começarmos caso você ainda não tenha a biblioteca Moment instada basta rodar o comando

yarn add moment 
yarn add moment-locales-webpack-plugin

Depois de instalado basta você importar a biblioteca dentro do componente no qual você irá utilizar o Moment e passar a instrução para o método moment que é .locale('pt-br') assim como no exemplo abaixo:

O Resultado no app você pode conferir como na figura abaixo: